此题要证圆的切线并求长度，由相似三角形得出线段比例式是关键

各位关注数学世界的朋友，大家好！今天，数学世界分享一道与圆有关的解答题，涉及切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识。笔者希望通过对习题的解析，能够为广大初中生学习相关的数学知识提供一些帮助！下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE=DE．
（1）证明：BE为⊙O的切线；
（2）若AM=8，AB=8√5，求BE的长．

文章插图
知识回顾
直角三角形的性质：在直角三角形中,两个锐角互余。
平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等。2.两直线平行,内错角相等。3.两直线平行,同旁内角互补。
分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）下面就简单分析一下此题的思路：
（1）根据垂直的定义得到∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，再根据直角三角形的性质，即可推出CB⊥BE，于是得到结论；
（2）连接BM，由圆周角定理得到BM⊥AC，根据勾股定理可以求得BM和BC的长，再根据相似三角形得到线段比例式，即可求得BE的长．
（1）证明：∵CD⊥AC，
【此题要证圆的切线并求长度，由相似三角形得出线段比例式是关键】∴∠ACD=90°，
∴∠A+∠D=90°，（直角三角形的性质）
∵AC=BC，BE=DE，
∴∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，（等腰三角形的性质）
∴∠ABC+∠DBE=90°，（等量代换）
∴∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE=90°，
∴CB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；

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（2）解：连接BM，
∵BC为⊙O的直径，
∴BM⊥AC，（圆周角定理）
∵在直角三角形ABM中，
AM=8，AB=8√5，
∴BM=16，
∵AC=BC，
∴CM=BC-AM=BC-8，
∵在直角三角形BCM中，BC^2=BM^2+CM^2，
∴BC^2=16^2+（BC-8）^2，
∴BC=20，
∴CM=12，
∵BM⊥AC，AC⊥CD，（平行线的判定）
∴BM∥CD，
∴∠MBC=∠BCE，（平行线的性质）
∵∠BMC=∠CBE=90°，
∴△BMC∽△CBE，
（相似三角形的判定和性质）
∴CM/BE＝BM/BC，
∴12/BE=16/20，
∴BE=15．
（完毕）
这道题是关于圆的综合题，有一定难度，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确找出相似三角形。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。