数学北师大版九年级上册第一章重要知识点，九年级上册数学第一章知识点北师大版

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第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边) 。特殊的等腰三角形等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形) 。2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。二、直角三角形全等1、直角三角形全等的判定有5种：(1)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)(2)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)(3)、三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)(4)、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)(5)、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。6、角平分线上的点到角两边的距离相等。7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。8、角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。三、平行四边的定义1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，2、性质：(1)平行四边形的对边相等,(2)对角相等,(3)对角线互相平分。3、判定：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(2)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(5)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。(6)一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。两个假命题：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。四、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。2、性质：(1)具有平行四边形的性质，(2)对角线相等，(3)四个角都是直角。(4)矩形是轴对称图形，有两条对称轴。3、判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形。(2)对角线相等的平行四边形是矩形。五、菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、性质：(1)具有平行四边形的性质,(2)四条边都相等,(3)两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。(4)菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。3、判定：(1)四条边都相等的四边形是菱形。(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。六、正方形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。3、判定：(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。七、梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形八、等腰梯形1、定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。3、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。九、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段。性质:平行于第三边，并且等于第三边的一半。十、梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段。性质:平行于两底，并且等于两底和的一半。
配方法的应用对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;第二步：方程两边同时除以二次项系数;第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;第四步：用直接开平方解变形后的方程.古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0，b>0)的方程的图解法是：以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=，则AD的长就是所求方程的解.注意：1.一元二次方程得一般形式特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式。2.“a≠0”是一元二次方程的一个重要组成部分，也是它的一个判断标准之一，但b、c可以为0 。若没有出现bx，则b=0;没有出现c，则c=0 。3.可以通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤得到一元二次方程得一般形式。一般步骤：第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。
一、平行四边形1、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。平行四边形的对角相等(邻角互补) 。平行四边形的对角线互相平分。2、平行四边形的判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。二、矩形1、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。2、矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线相等且互相平分的四边形是矩形。)三、菱形1、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。2、菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。)四、正方形1、正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。2、正方形的判定定理：l有一个角是直角的菱形是正方形。l有一组邻边相等的矩形是正方形。l有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。l对角线相等的菱形是正方形。l对角线互相垂直的矩形是正方形。l对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。l对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。五、等腰梯形1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形在同一底上的两个角相等。2、等腰梯形的判定方法：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。六、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2、性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。七、其他定理或结论：1、夹在两条平行线间的平行线段相等。2、三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。3、菱形的面积等于其对角线乘积的一半。4、连接三角形每两边的中点，就得到了四个全等的三角形和三个平行四边形，所得的三角形的周长是原三角形周长的，所得的三角形的面积是原三角形面积的。八、中点四边形1.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状，取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，即两条对角线是否相等或者是否垂直。2.依次连接任意四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。3.依次连接平行四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。4.依次连接矩形各边的中点，就得到一个菱形。5.依次连接菱形各边的中点，就得到一个矩形。6.依次连接正方形各边的中点，就得到一个正方形。7.依次连接等腰梯形各边的中点，就得到一个菱形。8.依次连接两条对角线相等的四边形各边的中点，就得到一个菱形。9.依次连接两条对角线互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个矩形。10.依次连接两条对角线相等且互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个正方形。