已知|已知a+b=√2,七种方法求ab的最大值

主要内容：
本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+b=√2条件下的最大值。

主要公式：
1.(sina)^2+(cosa)^2=1。
2.ab≤(a+b)^2/2。

思路一：直接代入法
根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(√2-a)
=-a^2+√2*a
=-(a-√2/2)^2+1/2，
则当a=√2/2时，ab有最大值为1/2。

思路二：判别式法
设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
a+b=√2,
a+p/a=√2,
a^2-√2a+p=0,对a的二次方程有：
判别式△=2-4p≥0,即：
p≤1/2,
此时得ab=p的最大值=1/2。

思路三：三角换元法
将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。
由a+b=√2，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，
设a=√2(cost)^2，b=√2(sint)^2，则：
a=√2(cost)^2,b=√2(sint)^2,代入得：
ab=√2(cost)^2*√2(sint)^2,
=1/2*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时，ab有最大值=1/2。

文章插图

思路四：中值代换法
设a=√2/2+t,b=√2/2-t，则：
a=√2/2+t,b=√2/2-t
此时有：
ab=(√2/2+t)*(√2/2-t)
=1/2-t^2。
当t=0时，即：ab≤1/2,
则ab的最大值为1/2。

思路五：不等式法
当a，b均为正数时，则：
∵a+b≥2ab,
∴(a+b)^2≥4ab,
2≥4ab,
即：ab≤1/2,
则ab的最大值为1/2。

思路六：数形几何法
如图，设直线a+b=√2上的任意一点P(a0,b0),
op与x轴的夹角为θ，则：
a0+b0=√2,b0=a0tanθ, p(a0,b0)
a0+a0tanθ=√2，得
a0=√2/(1+tanθ),
|a0*b0|=2*|tanθ|/(1+tanθ)^2,
=2/[(1/|tanθ|)+2+|tanθ|]
≤2/(2+2)=1/2。
则ab的最大值=1/2.

思路七:构造函数法
设函数f(a,b)=ab-λ(a+b-√2),
则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-λ,
f'λ=a+b-√2。
令f'a=f'b=f'λ=0，则：
b=λ,a=λ。进一步代入得：
λ+λ=√2,即λ=√2/2.
则有a=√2/2,b=√2/2.
ab的最大值=√2/2*√2/2=1/2。

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