x2|一道日本初中数学竞赛题：求代数式的值，只有不到10％的学生得满分

大家好！今天和大家分享一道日本初中数学竞赛题(题目见下图)。这是2016年日本七年级的一道数学竞赛题，题目看似简单，但是只有不到10％的学生得到满分。下面我们一起来看一下这道题目。

文章插图
【 x2|一道日本初中数学竞赛题：求代数式的值，只有不到10％的学生得满分】看到这道题目，不少同学觉得并不难，因为这个形式在平时的作业中似乎遇到过。比如下面这道题：已知x2+x+1=0，求x2+1/x2的值。
很明显x≠0，所以将式子x2+x+1=0两边同时除以x可以得到：x+1/x=-1，而x2+1/x2=(x+1/x)2-2=(-1)2-2=-1。

文章插图
上面这道题的已知条件和日本这道竞赛题实际上是一样的。如果把两道题的已知条件换一下，两题的形式就非常接近了，所以有的同学一开始就想到了这道题。
如果用这道题的解法，那么所求的这个式子又该怎么处理呢？最后会发现非常不好处理，因为所求的式子不能凑成x+1/x的形式，所以这个方法行不通了。
我们再来看一下下面这道竞赛题：已知x2+x+1=0，求x^17+x的值。

文章插图
这道题与前面两题的已知条件一样，但是所求式子的形式不一样。这道题所求的值是一个整式，所以不需要将等式两边都除以x，上面的方法就不能用了。
另外还可以尝试求出x的值，再代入所求式子进行计算。但是题目给出的一元二次方程的判别式小于零，很明显没有实数解，所以这个方法也不可行。
我们再换个思路：先看一下等式左边的式子x2+x+1，对于熟悉立方差公式的同学应该可以发现，这是x3-1的展开式中的一项[x3-1=(x-1)(x2+x+1)]，所以就有x3-1=0，即x3=1。然后再将所求式子进行变形即可得答案，过程见下图。

文章插图
上面这道题虽然不能求出x的值，但是可以求出x3的值，那么这道题的思路也可以用在这道竞赛题上。
首先，先将等式两边同时乘以t并移项可得：t2+t+1=0，两边再同时乘以t-1，可以得到t3=1。然后再将t^2016变形成(t3)^672，代入计算即可得到答案。

文章插图
这道题的难度就在于对已知条件的处理。如果陷入了求出t的值再代入的思维中，那么这道题肯定是做不出来的，因为这个t实际上是个复数，而不是实数。所以我们想办法把t的多少次幂作为一个整体进行计算，这也是竞赛题中常考的一个计算技巧。比如下面这道日本竞赛题还是用到了整体思维。

文章插图
这道题就和大家分享到这里，你觉得难吗？