分线上|线段、角的轴对称性

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线段是轴对称图形吗？
角是轴对称图形吗？
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小编乱入
知识会
知识点1 线段的轴对称性【基础】
1. 线段的轴对称性
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理
2-1 文字表述
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
2-2 数学语言
如图，∵PQ垂直平分AB，且M在PQ上，∴AM＝BM．

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3. 线段垂直平分线的判定定理
3-1 文字表述
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3-2 数学语言
如上图，∵AM＝BM，
∴点M在线段AB的垂直平分线上．

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(1)性质可以证明线段相等；
判定可以证明一个点在一条线段的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，也可以作为线段垂直平分线的判定．
(2)根据线段垂直平分线的性质与判定可知，线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．
示范例题
例题1.(单选题)如图所示，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是()

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A.3.9 cm
B.7.8 cm
C.4 cm
D.4.6 cm
【答案】B
【解析】∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD＝2.3 (cm)，BC＝BD＝1.6(cm)，
∴四边形ACBD的周长＝AC＋AD＋BC＋BD＝7.8(cm)．
故选B．
【点拨】
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.若已知条件中有线段的垂直平分线，通常连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，可得到等腰三角形．
知识点2 线段垂直平分线的画法【重点】
线段AB的垂直平分线的作法
(1)分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P和Q．
(2)过P,Q两点作直线．
则直线PQ就是线段AB的垂直平分线．
求甚解
(1)作线段AB的垂直平分线时分别以点A，B为圆心，必须以大于 AB长为半径画弧，否则所画的两弧不能相交或者只交于线段AB的中点，且这两条弧的半径必须相等.
(2)要保留作图痕迹，此外要写明结论．
(3)作一条线段的垂直平分线，没有特殊说明，要画成一条直线．
(4)作线段垂直平分线的依据：
三角形全等的判定和性质.
线段垂直平分线的判定.
(5)利用线段垂直平分线的作法可以把已知线段两等分，四等分，…，2n等分．
拓展

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示范例题
例题1.(解析题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，试说明BD平分∠CBA.

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【答案】见解析
【解析】(1)如图，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线.

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(2)因为DE是AB边上的垂直平分线，
所以AD=BD.可证得△ADE≌△BDE.
又因为∠A=30°，
所以∠ABD=∠A=30°.
因为∠C=90°，
所以∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-90°-30°=60°.
所以∠CBD=30°.
所以∠ABD=∠CBD，即BD平分∠CBA.
知识点3 角的轴对称性【基础】
1. 角的轴对称性
角是轴对称图形，【填空：角平分线所在的直线】是它的对称轴.
2. 角平分线的性质
2-1 性质
(1)文字表述
角平分线上的点到角两边的距离相等．
(2)数学语言
如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.

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2-2 性质的依据
角平分线的性质定理体现全等的判定方法AAS. 理由如下：
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP.
又∠PDO=∠PEO，OP=OP，
∴△ODP≌△OEP(AAS)，
∴PD＝PE．
(1)角平分线的性质应用的条件：
点必须在角平分线；
具备两个垂直条件：两个垂足一定要在角的边上．
(2)由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可以证明线段相等问题．
3. 角平分线的判定
(1)文字表述
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
(2)数学语言
∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE＝PF，
∴OP平分∠AOB(或∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB)．

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求甚解
(1)“角平分线上的点”是指角平分线上任意一点；
“距离”是指这一点到角两边垂线段的长，而不是其他线段长.
(2)角平分线的判定应用的前提是这个“点”在角的内部，应用的条件是必须有线段相等及两个垂直.
(3)在证明有公共边的两个角相等时，通常要用到角平分线的判定，它比全等证两角相等更快捷．
敲黑板
(1)角平分线的性质与判定的关系：
由性质可知角平分线上的点到角的两边的距离相等，可以证明线段相等；
由判定可知角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可以得到角相等.
二者互为逆定理，应用时要区分清楚．
(2)角的内部到角两边距离相等的点有无数个，它们都在这个角的平分线上.
这为我们作一个角的平分线提供了一种重要的方法，即如果可以说明一个点在一个角的平分线.上,那么就可以由角的顶点和这一点作出角的平分线.
示范例题
例题1.（单选题）[2019浙江温州瑞安期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（）

A．5：3
B．5：4
C．4：3
D．3：5
【答案】A
【解析】作DE⊥AB于点E.

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知识点4 角平分线的画法【重点】
1. 画法
用尺规作∠AOB的平分线的方法：
(1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点E，F．
(2)分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P．
(3)画射线OP．
射线OP就是∠AOB的平分线．
动图显示如下：

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2. 依据
利用尺规作一个已知角的平分线，画图的依据是“SSS”．具体证明如下：
连接PE，PF．根据作法(1)(2)可知OE＝OF，PE＝PF.

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又∵OP＝OP，∴△OEP≌△OFP，
∴∠AOP＝∠BOP．
求甚解
(1)作法的第(2)步中，两条弧的半径一定要大于EF长，且一定要在角的内部相交．
(2)“画射线OP”不能写成“连接OP”，因为连接OP得到的是线段，但是角平分线是射线.
拓展

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示范例题
例题1.(单选题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按下列步骤作图：
以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；
分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
作射线AG，交BC边于点D．
则∠ADC的度数为()

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A.40°
B.55°
C.65°
D.75°
【答案】C
【解析】∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，
由作图可知
∴∠ADC＝180°－90°－25°＝65°．故选C．
【警示】
角平分线的尺规作图在考题中通常与以后要学习的平行四边形等知识综合到一起，在解答题中出现．解题的关键是要分清几种基本的尺规作图的作法，以免混淆不清．
K重难
题型1线段垂直平分线的性质
例题1.(解析题)如图，已知△ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，△BCD的周长为24cm，求BC的长.

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【答案】见解析
【解析】因为DE是AB的垂直平分线，
所以AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
所以△BCD的周长为
BD+CD+BC=AD+CD+BC
=AC+BC=14+BC=24(cm).
所以BC=24-14=10(cm).
【破题】
利用线段垂直平分线的性质将周长转化为AC与BC的和，再结合已知即可求出BC的长.
【点拨】
当题目中有线段的垂直平分线时，要注意运用线段垂直平分线的性质，推出线段相等，从而使问题简化.
题型2线段垂直平分线的判定
例题1.(解析题)如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D.求证：OE是CD的垂直平分线．

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【答案】见解析
【解析】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE.
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，
∴OD＝OC，
∴OE是CD的垂直平分线．
题型3角平分线的性质
(1)在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可以考虑使用三角形全等或者角平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，优先考虑使用角平分线的性质.
(2)当问题涉及三角形的角平分线或角平分线交点时，往往通过角平分线上的点或者交点作角的垂线，利用角平分线的性质得到相等线段，再结合题目解决问题.
例题1.(填空题)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则BD：CD＝3：4．

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【答案】3：4
【解析】∵AD是∠BAC的平分线，
∴点D到AB，AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝6：8＝3：4.
过点A作AE⊥BC于E，
∴BD：CD＝S△ABD：S△ACD＝3：4.
题型4 角平分线的判定
证明角平分线，很容易想到在角的内部作角两边的垂线段，先由三角形全等证明所作垂线段相等，再由角平分线的判定即可解决.有时也可以用三角形全等证明角相等，再根据角的平分线的定义判断.
例题1.（单选题）[2019江西宜春期末]如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于（）

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A．115°
B．105°
C．125°
D．130°
【答案】A
【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O为△ABC的内角平分线的交点，
即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB.

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题型5 与角平分线有关的尺规作图
例题1.(解析题)分别画出已知钝角和平角∠AOB的平分线．
【答案】见解析
【解析】如图所示，射线OC即为已知钝角和平角∠AOB的平分线．
题型6尺规作图的实际应用
例题1.(单选题)三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是()
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点

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【答案】C
【解析】根据角平分线的性质，三角形的三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故作其中任意两个角的角平分线即可．故选C．
【点拨】
三角形三条角平分线的交点到三角形三边距离相等．
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